Родился 28 декабря 1912 года в селе Терновка Яковлевского района в крестьянской семье. Украинец. Член КПСС с 1943 года. Окончил 5 классов. В 1933 году уехал в город Харьков, где работал на центральной телефонной станции.
При приближении немецко-фашистских войск к Харькову в октябре 1941 года А. П. Ткаченко был призван в ряды Красной Армии и направлен на фронт, где воевал на разных участках в качестве связиста. Был награждён двумя медалями «За отвагу».
Особо отличился он в боевых действиях при форсировании Днепра. Он служил телефонистом роты связи 835-го стрелкового полка 237-й стрелковой дивизии, действовавшей в составе 40-й армии Воронежского фронта.
В ночь на 24 сентября 1943 года рядовой А. П. Ткаченко с группой разведчиков в числе 5-ти человек переправился через Днепр у села Гребени Кагарлыкского района Киевской области, проложил кабельную линию и установил связь с командованием полка. Разведчики, обследовав плацдарм на месте высадки, дали сигнал о возможности переправы. Утром 24 сентября они заметили группу противника, приближающуюся к берегу. Они подпустили противника на выгодную дистанцию и открыли огонь из автоматов, уничтожив до 15 человек.
Немцы бросили в контратаку против горстки воинов во много раз превосходящие силы. Ткаченко А. П. вместе со всеми мужественно отражал контратаки врага, а когда наступил критический момент, он по телефонной связи вызвал огонь своей артиллерии на себя. Немцы понесли большие потери и отступили. Ткаченко А. П. и его боевые товарищи удержали захваченный плацдарм до прихода переправившихся подразделений полка.
За эти мужественные действия на берегу Днепра Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 октября 1943 года телефонисту 3-го батальона 835-го стрелкового полка рядовому Ткаченко Александру Прохоровичу присвоено звание Героя Советского Союза.
В начале 1945 года А. П. Ткаченко окончил курсы младших лейтенантов, а в декабре того же года был уволен в запас. Он жил на Украине, в Киеве, работал электромонтёром Дома научно-технической пропаганды.
Умер 13 декабря 1971 года, похоронен в Киеве на Лукьяновском военном кладбище.
Более подробно о Герое в «Летописи Победы»