Родился 11 апреля 1921 года в селе Черкасское Томаровского района Курской области (ныне Яковлевский городской округ Белгородской области) в семье крестьянина.
Окончил 7 классов. Работал токарем на заводе.
В марте 1943 года был призван в Красную Армию Томаровским райвоенкоматом. С апреля 1944 года участвовал в боях с захватчиками на Воронежском, Калининском, 2-м Прибалтийском фронтах.
Боевое крещение принял в сражении на Курской дуге, освобождал Белоруссию и Прибалтику. Весь боевой путь прошел в составе 727-го стрелкового полка 219-й стрелковой дивизии. За короткий срок освоил снайперское дело, в совершенстве овладел снайперской винтовкой.
В декабре 1943 года, когда полк стоял в обороне в районе станции Ермошино на железнодорожной линии Ковель – Полоцк (Белоруссия) младший сержант Xудошин не смотря на погоду каждый день выходил на охоту, искусно применяя все средства маскировки. К декабрю 1943 года записал личный снайперский счет 15 гитлеровцев.
Приказом по частям 219-й стрелковой дивизии от 7 января 1944 года снайпер роты автоматчиков 727-го стрелкового полка 219-й стрелковой дивизии младший сержант Худошин награждён орденом Славы 3-й степени.
Вскоре был назначен командиром отделения снайперов.
В период оборонительных боев с января по март 1944 года в районе деревни Голубово (Россонский район Витебской области, Белоруссия) из снайперской винтовки истребил 27 гитлеровцев. Участвовал в разведке в тылу врага, вместе с бойцами привел языка.
Приказом по войскам 3-й Ударной армии от 3 июня 1944 года командир отделения снайперов роты автоматчиков 727-го стрелкового полка 2-го Прибалтийского фронта старший сержант Алексей Петрович Худошин награждён орденом Славы 2-й степени.
В дальнейшем в составе своего полка участвовал в Идрицкой и Рижской наступательных операциях, был контужен. Вернулся в строй.
С октября 1944 года дивизия участвовала в блокаде группировки противника в Курляндском котле. В этих боях старший сержант Худошин уже командовал взводом пешей разведки 727-го стрелкового полка.
Командир взвода пешей разведки 727-го стрелкового полка сержант Xудошин у деревень 23–27 декабря 1944 года трижды руководил поиском в тылу врага у деревень Рудини и Илэниски (Добельский район, Латвия), установил систему огня и расположения подразделений противника. В схватках с противником разведчики уничтожили около 50 солдат, 11 из них были на счету старшего сержанта Худошина. Был представлен к награждению орденом Славы 1-й степени.
Бои в Курляндском котле продолжались до конца войны и после падения Берлина. Капитуляция была подписана только 10 мая 1945 года. В мае 1945 года старшина Худошин был демобилизован.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 года за боевое мастерство, проявленное в боях в Курляндском котле (Латвия) старшина Xудошин Алексей Петрович награждён орденом Славы 1-й степени. Стал полным кавалером ордена Славы.
Награжден орденом Отечественной войны 1-й степени, медалями.
Старшина в отставке. Жил в городе Харьков. В 1971 году окончил автотранспортный техникум. Работал по специальности.
Умер 9 августа 1986 года.